Resumen
El artículo refiere uno de los resultados teóricos
del proyecto de investigación “Contextualización didáctica en el proceso de
enseñanza aprendizaje de las ciencias Física-Química-Matemática”. El trabajo
contiene consideraciones sobre el diagnóstico del estado de la problemática
citada en las escuelas primarias tomadas como muestra del municipio de Las
Tunas, Cuba, y la argumentación de las limitaciones teóricas relacionadas sobre
el desarrollo del pensamiento funcional desde las clases de Matemática a partir
de los instrumentos aplicados para constatar esta problemática. Como respuesta
a las dificultades develadas en el diagnóstico, se proponen sugerencias
didácticas para el tratamiento de forma implícita del concepto función a partir
de las correspondencias y relaciones que se pueden dar en los contenidos de
sexto grado, fundamentalmente en los movimientos del plano y los problemas de
proporcionalidad. Se tiene en cuenta la línea directriz correspondencia y
funciones para formar este concepto de forma propedéutica en los alumnos de la
enseñanza primaria, específicamente en sexto grado. Se concluye que los
docentes de la enseñanza primaria deben tener en cuenta en sus clases las
posibilidades de desarrollar en sus alumnos un pensamiento funcional que les
permita desarrollar habilidades y conocimientos para que en noveno grado puedan
definir el concepto de función explícitamente.
Palabras clave: aprendizaje; función; concepto.
Abstract
The article refers to one of the theoretical results of the research project "Didactic contextualization in the teaching-learning process of the Physical-Chemical-Mathematical Sciences". The work contains considerations on the diagnosis of the state of the aforementioned problem in primary schools taken as a sample of the municipality of Las Tunas, Cuba, and the argumentation of the theoretical limitations related to the development of functional thinking from Mathematics classes from the instruments applied to verify this problem. As a response to the difficulties revealed in the diagnosis, didactic suggestions are proposed for the implicit treatment of the concept of function based on the correspondences and relationships that can be found in the sixth grade content, mainly in the movements of the plane and the problems of proportionality. The correspondence and functions guideline is taken into account to form this concept propaedeutically in primary school students, specifically in sixth grade. It is concluded that primary school teachers must take into account in their classes the possibilities of developing the functional thinking in their students that allows them to develop skills and knowledge so that in ninth grade they can define the concept of function explicitly.
Keywords: learning; function; concept.
La Gestión del Conocimiento: un Reto de la Escuela Primaria Actual
En los últimos años la política educacional ha
estado en función de formar ciudadanos con un pensamiento humanista, científico
y creador que le permita resolver problemas de interés social, en torno con las
necesidades de una sociedad que lucha por desarrollarse y mantener sus ideales
y principios en medios de enormes desafíos (Colectivo de autores, 2015). Los
programas de Matemática tienen la finalidad de cumplir con este encargo social
que se declara al capacitar a los alumnos en el desarrollo de capacidades,
habilidades y hábitos (Díaz & Alvarado, 2014).
La escuela cubana tiene entre sus tareas
priorizadas la de contribuir en la formación multilateral de nuestros alumnos y
la enseñanza de la matemática logra a través de sus programas el desarrollo del
pensamiento lógico desde una edad temprana (Colectivo de autores, 2005).
Algunas investigaciones ya realizadas sobre las
exigencias psicopedagógicas sobre el aprendizaje desarrollador destacan entre
otras estimular la formación de conceptos y el desarrollo de los proceso
lógicos del pensamiento y el alcance teórico, en la medida que se produce la
apropiación de los procedimientos y se eleva la capacidad de resolver problemas (Junk, 1991); por eso este trabajo
está dirigido a ofrecer algunos elementos teóricos y recomendaciones
metodológicas a través de actividades que le sirvan al maestro primario de
sexto grado para el tratamiento propedéutico del concepto función.
Los trabajos preparatorios para el tratamiento de
las funciones se comienzan en la enseñanza primaria a través de las relaciones
o correspondencias entre conjuntos durante este subsistema de enseñanza, por
ejemplo, cuando los alumnos asocian a un conjunto su cardinal; hacen
corresponder a un par de números el resultado de una operación aritmética; a un
punto del rayo numérico se le hace corresponder una clase de pares ordenados de
números naturales de igual cociente, o a
una figura por un movimiento se asocia a cada punto de la figura
original un punto en la figura imagen (Colectivo de autores, 1991).
Para la enseñanza de la Matemática las
correspondencias y funciones tienen un significado especial. Esto se evidencia
en el desarrollo del pensamiento funcional desde los primeros grados en los
procesos de cambio y evolución al transitar por los diferentes momentos del
desarrollo del escolar primario (Colectivo de autores, 1990).
Los alumnos se capacitan desde los primeros grados
para realizar operaciones de seriación al identificar regularidades en
sucesiones de carácter numérico y geométrico, así como interpretar
informaciones dadas mediante tablas y gráficos. El pensamiento funcional se
desarrolla poco a poco hasta que se consolida con el estudio de las relaciones
de proporcionalidad directa e inversa en sexto grado (Ballester, 1990).
La línea directriz correspondencia y funciones se
ocupa de la formación a largo plazo de un concepto central de la Matemática,
tanto por lo que significa para el desarrollo interno de esta como ciencia,
como por sus aplicaciones, por cuanto contribuye a modelar múltiples fenómenos
y proceso de la realidad (Colectivo de autores, 2002).
Por eso desde las primeras edades se deben sentar
las bases para desarrollar en los escolares primarios el pensamiento funcional
desde lo implícito hasta que en la secundaria básica se convierta
explícitamente en objeto de enseñanza y asimilen las propiedades, relaciones,
formas de representación y sus aplicaciones en el ámbito económico y social (Colectivo
de autores, 1990).
Todo este trabajo propedéutico desde la enseñanza
primaria se continúa consolidando en séptimo grado, y octavo grado comienza el
tratamiento sistemático de las funciones a partir de identificar y representar ecuaciones
y relaciones de forma descriptiva a través de tablas y gráficos (Colectivo de
autores, 2014).
Método
Se emplearon en la
investigación métodos del nivel teórico y del nivel
empírico tales como el
analítico-sintético para el tratamiento del concepto función, inductivo-deductivo
como método general que atraviesa toda la investigación para el análisis del
tratamiento integrado al concepto función; como técnica se usó el estudio documental para la revisión
bibliográfica de las fuentes que permitieron establecer los fundamentos teóricos
y el estudio de los productos de la actividad (revisión de los planes de
clases, programas, evaluaciones), preparaciones metodológicas y observación a clases.
Resultados y Discusión
Los conceptos correspondencias, relaciones y
funciones no se tratan explícitamente en la enseñanza primaria, no obstante, en
cada contenido matemático están presentes sus nociones y por eso que el docente
requiere de conocimientos científicos y exactos relacionados con estos contenidos para formar un sólido
fundamento matemático que le permita ampliarse y perfeccionarse en la clase de
Matemática.
En la matemática escolar se establecen
correspondencias tanto para la elaboración como para la fijación de contenidos.
En la elaboración de la definición de movimientos se establecen
correspondencias entre lo puntos del plano, también al completar tablas o
calcular términos donde se establecen correspondencias entre números, del mismo
modo para la elaboración y fijación de los números naturales se establecen
correspondencias entre elementos de diferentes conjuntos.
Una correspondencia desde A hasta B de dos
conjuntos cualesquiera A y B se denomina a cada subconjunto de pares ordenados
donde un elemento del conjunto A se encuentra en el primer lugar y un elemento
de b e encuentra en el segundo lugar, es decir (a ;b) si a
y b
.
El conjunto de todas las correspondencias se
diferencian desde un conjunto A hasta un conjunto B cuando los elementos de uno
de los conjuntos forman pares respectivamente, con uno o varios elementos de
otros conjuntos, dando a lugar tres conjuntos de correspondencias.
Conjuntos de correspondencias
1.-Correspondencia unívoca: una correspondencia F
es univoca si y solo si de (a
b
)
F (a
; b)F resulta siempre que b=b es decir que a cada
elemento del conjunto A se le hace corresponder un solo elemento del conjunto
B.
2.-Correspondencia inyectiva: una correspondencia F
es univoca si y solo si de (ab)F (a; b)F resulta siempre que a=a es decir que a cada
elemento del conjunto A se le hace corresponder un solo elemento del conjunto
B.
3.-Correspondencia biunívoca: una correspondencia,
que no solo es unívoca, sino también inyectiva, es decir, a cada elemento del
conjunto A se le hace corresponder un solo elemento del conjunto B y a cada
elemento del conjunto B se le hace corresponder un solo elemento del conjunto
B.
El concepto
función ocupa un lugar significativo en la Matemática y se construye sobre la
base del concepto correspondencia, o de una forma más detallada, sobre la base
del concepto correspondencia desde un conjunto a otro conjunto.
Función: toda correspondencia unívoca f se denomina función
o aplicación.
En otras palabras, podemos decir que f es una
función de A en B, si a cada elemento de A asocia un único elemento de B.
Ejemplo: Se define función. Sea E el conjunto de
alumnos de Sexto A. A cada alumno le corresponde su índice académico.
La correspondencia: A una mujer x asocia un y tal que y sea hijo de x.
No se define función:
a) Es posible que una mujer x no tenga hijos.
b) Una mujer x puede tener varios hijos.
Correspondencia y función son elementos del
conocimiento extraordinariamente importantes para la ciencia Matemática;
“…generalmente toda investigación matemática trata de relaciones,
correspondencias y funciones” (Steinhofel, 1982, p.75, citado por Ballester,2003).
Para la enseñanza de la Matemática lo expresado
tiene un significado especial y lo asume reflejando en todos los grados el
desarrollo del pensamiento funcional.
En el tratamiento de las funciones se reconocen dos
fases para su tratamiento: una implícita o propedéutica, antes de definir el
concepto de función, y otra explícita cuando se aborda el estudio de las
diferentes clases de funciones y sus propiedades.
En el concepto función hay tres aspectos esenciales
a tener en cuenta: uno es el de correspondencia, otro es el de covariación
(variación conjunta de los argumentos y los valores de la función) y el
tercero, es su carácter de objeto matemático con el cual se opera y se
establecen relaciones.
El aspecto de correspondencia es el aspecto más
utilizado en la enseñanza preescolar y primaria y se tiene en cuenta en
diferentes formas, por ejemplo por medio de las tareas de seriación.
Las correspondencias son las bases de cualquier
función, y en la vida diaria un aspecto que debe tener el docente es describir
a través de los contenidos no solo de matemática, las relaciones funcionales
que se dan en la cotidianidad.
Para fijar el concepto de correspondencia se
sugiere resolver ejercicios donde el alumno determine todos los valores de una
expresión al completar una tabla.
El concepto de correspondencia es de gran
importancia también desde el punto de vista filosófico. La teoría del reflejo
es la piedra angular de la teoría del conocimiento marxista leninista. Según
esta, el conocimiento es un reflejo o correspondencia de la realidad objetiva
en el pensamiento del hombre: los objetos, las propiedades, las situaciones de
la realidad objetiva (originales) se corresponden en el proceso de reflejo con
las sensaciones, percepciones, conceptos, proposiciones (imágenes o reflejos).
Los reflejos de la realidad objetiva se convierten
en la base de la acción y brinda la posibilidad de influir resueltamente sobre
el medio. En el proceso de enfrentamiento con el medio ambiente, son
confirmados los reflejos de la realidad objetiva o se someten a
transformaciones.
Todo docente debe aplicar esta correspondencia
desde la teoría del conocimiento para formar en los alumnos convicciones y a su
vez vincular los contenidos de la vida a relaciones que conduzcan al concepto
función.
El aspecto de la covariación se manifiesta que en
situaciones de proporcionalidad directa no siempre se hace comprender a los
alumnos que a un múltiplo dado de una cantidad de magnitud corresponde el mismo
múltiplo de la otra cantidad de magnitud, que a la suma y diferencias de las
cantidades de una magnitud corresponde la suma y diferencias de las cantidades correspondientes de la
otra.
Para la formación de este concepto implícitamente
se debe partir de un conjunto de problemas que contengan situaciones de
correspondencias de carácter intra y extra matemáticos que posibiliten
identificar lo común que tienen aquellas que se pueden modelar a través del
concepto de función.
En los programas de Matemática del primer y segundo
ciclo de la enseñanza primaria no están declarados explícitamente los objetivos
para el desarrollo del pensamiento funcional, por eso declaramos a continuación
los mismos para que los docentes lo tengan en cuenta para que puedan a través
de los diferentes dominios cognitivos contribuir al desarrollo del pensamiento
funcional.
Objetivos del primer ciclo para el desarrollo del pensamiento funcional
1.- Establecer correspondencias entre conjuntos
finitos de objetos matemáticos y no matemáticos.
2.-Identificar regularidades numéricas y
geométricas para determinar términos próximos de una sucesión.
3.- Formular y resolver problemas mediante
reflexiones lógicas o cálculos en que intervengan cantidades de magnitud
directamente proporcionales, de modo que puedan extraer conclusiones sobre
hechos relacionados con su entorno natural y social.
Objetivos del segundo ciclo para el desarrollo del pensamiento funcional
1.-Establecer correspondencias entre conjuntos
finitos de objetos matemáticos y no matemáticos.
2.-Identificar regularidades numéricas y
geométricas para determinar términos próximos de una sucesión, en particular,
en progresiones aritméticas y geométricas.
3.-Fundamentar cuándo existe o no una relación de
proporcionalidad directa o inversa a partir de descripciones verbales, tablas,
gráficas o ecuaciones, pasando de una forma de representación a otra y haciendo
una adecuada utilización de la terminología y simbología matemáticas.
4.- Formular y resolver problemas de forma oral o
escrita aplicando sus conocimientos y habilidades sobre la proporcionalidad
directa e inversa, en conexión con los aprendidos en otras áreas del
conocimiento matemático y otras asignaturas, de modo de que puedan hacer
valoraciones sobre situaciones que los afectan directamente.
En el segundo ciclo se recomienda que a través de
los conocimientos que debe dominar el alumno del segundo ciclo deben
establecerse correspondencia entre:
·
Pares de números y el resultado de la potenciación
y radicación.
·
Números fraccionarios y puntos en el rayo numérico.
·
Fracciones y un tanto por ciento o tanto por mil.
·
Las figuras geométricas y su perímetro, área,
volumen y capacidad.
·
Los movimientos del plano como transformaciones en
sí mismo.
·
Sistema de coordenadas rectangulares. Coordenadas
de un punto. Representación gráfica de puntos en un sistema de coordenadas
rectangulares.
·
Sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y
geométricas.
·
Razón. Proporcionalidad. Propiedad fundamental de
las proporciones significado de la proporcionalidad directa e inversa.
Presentación gráfica en un sistema de coordenadas. Relación entre los
significados de razón, proporcionalidad y tanto por ciento.
En sexto grado se introdujo a partir del curso
2004-2005, por motivo de la aplicación del segundo estudio regional de la
calidad educativa. Uno de los objetivos y contenidos introducidos fue describir
relaciones funcionales que se dan en situaciones de la vida cotidiana a través
del contenido noción del concepto función, que debe tratarse en todas las
unidades y en especial en la unidad numero 4 referida a la
proporcionalidad.
La unidad 4 está relacionada con la
proporcionalidad y se recomienda que se aprovechen todas las relaciones de la
vida donde aparezcan relaciones entre cantidades y cantidades de magnitudes,
teniendo en cuenta la variable dependiente e independiente. Ejemplo:
En estas relaciones es importante que asimilen cómo
los cambios en una variable (variable independiente), dan lugar a cambios en la
otra variable (variable dependiente de acuerdo con cierta regla, que varía de
un caso a otro.
Que comprendan que cada valor de la variable
independiente determina un valor de la variable dependiente.
Sepan que una relación entre variables se puede
presentar mediante una descripción, una tabla, una fórmula o un gráfico,
ecuaciones y pueden transferir una información de una forma de representación a
otra.
Evidentemente una misma cantidad o cantidad de
magnitud podrá actuar en algunos casos como variable independiente y en otros,
como variable dependiente.
Para formar la noción intuitiva de función poco a
poco en los alumnos se pueden utilizar ejercicios relacionados sobre
proporcionalidad.
Por carencias en las orientaciones metodológicas se
le recomienda al docente desde el punto de vista didáctico el siguiente
algoritmo de trabajo para poder desarrollar habilidades en la resolución de
problemas de proporcionalidad y desarrollar en los escolares primarios de sexto
grado un pensamiento funcional.
1.-Determinar las magnitudes que intervienen en el
problema.
2.-Identificar el tipo de relación o
correspondencia entre las magnitudes.
3.-Identificar la variable dependiente e
independiente.
4.-Identificar el tipo de proporcionalidad (directa
o indirecta)
5.- Plantear la proporción.
6.- Buscar el factor de proporcionalidad.
7.- Calcular la incógnita o las incógnitas.
8.- Comprobar los resultados en el problema.
En el paso dos se debe orientar al alumno que tipo
de relación de la vida se observa en el problema y establecer las
correspondencias que pueden ser unívocas o biunívocas entre las cantidades de
magnitudes.
El paso tres debe establecer las correspondencias
entre las variables dependiente e independiente haciendo énfasis si una
magnitud aumenta o disminuye y la otra magnitud correspondiente aumenta o
disminuye (proporcionalidad directa) y si una magnitud aumenta y la otra
correspondiente disminuye o viceversa (proporcionalidad inversa).
Ejemplo 1. Se les orientará a los alumnos que
pongan ejemplos de relaciones entre cantidades de magnitud y en cada caso
identificar cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.
Ejemplo 2. Observa la siguiente tabla y contesta
las preguntas que se relacionan a continuación:
a) Determina las magnitudes que intervienen en la
tabla y que relación se establece entre ellas.
b) Identifica la variable dependiente y la variable
independiente.
c) ¿Qué tipo de proporcionalidad hay en la tabla?
d) Determina si la diferencia ente el costo de 4 y
2 panes, es igual a la que existe entre 3 panes y uno, es igual a la que existe
entre 5 y 2 panes.
e) ¿Cómo son las diferencias de los costos cuando
varía de igual forma la cantidad de panes que se compran?
f) ¿Cuánto costarán 6 panes?
Las interrogantes fueron respondiendo a la sucesión
de pasos que se recomienda.
Las figuras geométricas y su perímetro, área,
volumen y capacidad.
Ejemplo 3.
a) Investiga como varía el área de un rectángulo si
se conoce que la longitud del largo es el doble del ancho en metros.
Se recomienda una tabla por tanteo con números
naturales.
b) Identifica la variable dependiente y la variable
independiente.
c) ¿Qué tipo de proporcionalidad hay en la tabla?
En sexto grado se continúa el trabajo con el
concepto de sucesión como una correspondencia que asocia a ciertos números
naturales un elemento de un conjunto, de modo que para cada número está
claramente determinado cuál es el elemento del conjunto que le corresponde.
Sucesiones numéricas
Los alumnos para realizar las operaciones de
seriación comparan los elementos consecutivos y se analiza la relación que hay
entre ellos para inferir el patrón o la regla de formación
Ejemplo 4.
Completa las sucesiones siguientes:
a) 1140: 1148; 1156: ______, ______.
b) 2; 20; 200; _____, _____,
·
Los movimientos del plano como transformaciones en
sí mismo. Sistema de coordenadas rectangulares. Coordenadas de un punto.
Representación gráfica de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares.
Ejemplo 5.
Traza en un sistema de coordenadas el punto Q (5;5). Considera la
simetría de centro Q y completa las siguientes proposiciones de modo que sean
verdaderas:
a) (5;5) es la imagen de _____.
b) (3;3) es el original de _____.
c) _____ es el original de (2;0) y este es el
original de ____.
d) (2;4) la imagen de _____ y este es la imagen de
____.
Ejemplo 6
Traza en un sistema de coordenadas los puntos P(1;4),
Q(5;2), R(6;3), T(4;5)
a)
Halla la imagen del cuadrilátero por traslación de
vector AB donde A(4;6) y B(7;9)
·
Números fraccionarios y puntos en el rayo numérico.
Ejemplo 7.
Represente en un rayo numérico las siguientes
fracciones.
·
Pares de números y el resultado de la potenciación
y radicación.
Ejemplo 6.
Completa la siguiente tabla:
En todos los ejercicios que las correspondencias
conducen al concepto de función el docente debe hacer referencia que a cada
elemento del conjunto de partida se le hizo corresponder uno y solo un elemento
en el conjunto de llegada.
La aplicación de las sugerencias didácticas para el
tratamiento de los problemas de proporcionalidad fue concretándose en las
diferentes formas del proceso enseñanza de la unidad 4 del programa de
matemática de sexto grado atendiendo la diversidad educativa.
Conclusiones
Teniendo en cuenta la importancia que revisten las
correspondencias para la formación del concepto de función, los docentes de la enseñanza primaria deben tener en cuenta
en sus clases, según el dominio cognitivo que sea objeto del proceso enseñanza,
las posibilidades de desarrollar en sus alumnos un pensamiento funcional que les
permita desarrollar habilidades y conocimientos para que en noveno grado puedan
definir el concepto de función explícitamente.
Este trabajo asume determinados fundamentos
filosóficos y didácticos que constituyen una vía para dirigir el proceso de
enseñanza aprendizaje de forma desarrolladora y a través de la línea directriz “correspondencia
y funciones” formar el concepto de función desde una forma implícita en los
alumnos del sexto grado.